等差数列和等比数列的求和公式

等差数列和等比数列都是很熟悉的概念,以前推导过等差数列求和公式但是等比数列推导过程忘了

绝对不是为了水一篇博客 ε٩(๑> ₃ <)۶з

就当是复习一遍

等差数列

首项 $a_1$,公差 $d$,共 $n$ 项

通项是:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

和记作:

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$$

对折法

这个非常简单,人家高斯十岁都能求出来🤣

$$S_n = a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + \dots + [a_1+(n-1)d]$$ $$S_n = [a_1+(n-1)d] + [a_1+(n-2)d] + \dots + a_1$$

两式相加:

$$2S_n = (a_1+a_n) + (a_2+a_{n-1}) + \dots + (a_n+a_1)$$

一共 $n$ 个括号,每个都是 $a_1+a_n$,所以:

$$2S_n = n(a_1+a_n)$$ $$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

平均数求和

注意到等差数列的项是“首项、末项的平均数”对称的

所以平均值就是:

$$\frac{a_1+a_n}{2}$$

项数是 $n$,所以总和:

$$S_n = n \times \frac{a_1+a_n}{2}$$

等比数列

首项 $a_1$,公比 $q$,共 $n$ 项。

通项:

$$a_n = a_1 q^{\,n-1}$$

和:

$$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1}$$

错位相减法

先写出和:

$$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1}$$

乘上公比 $q$:

$$qS_n = a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n}$$

两式相减:

$$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$$ $$S_n(1-q) = a_1(1-q^n)$$

所以:

$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, \quad (q \neq 1)$$